中考数学复习阿氏圆练习题,含参考答案x

【中考数学复习阿氏圆练习题,含参考答案x】在初中数学的几何部分，阿氏圆（也称为阿波罗尼奥斯圆）是一个重要的知识点，尤其在中考中常以综合题或压轴题的形式出现。掌握阿氏圆的相关性质与解题技巧，有助于提升几何问题的解决能力。

一、什么是阿氏圆？

阿氏圆是由法国数学家阿波罗尼奥斯提出的几何概念。其定义为：平面上到两个定点的距离之比为常数（不等于1）的所有点的轨迹，即为一个圆。

设点 $ A $、$ B $ 为两个定点，点 $ P $ 满足 $ \dfrac{PA}{PB} = k $（其中 $ k > 0 $ 且 $ k \neq 1 $），那么所有满足该条件的点 $ P $ 构成一个圆，称为阿氏圆。

二、阿氏圆的性质

1. 圆心位置：

阿氏圆的圆心位于线段 $ AB $ 的延长线上，具体位置可以通过相似三角形或向量方法求得。

2. 半径计算：

半径与两定点之间的距离和比例系数有关，公式为：

$$

R = \dfrac{k \cdot AB}{|k^2 - 1|}

$$

3. 特殊情形：

- 当 $ k = 1 $ 时，轨迹是线段 $ AB $ 的垂直平分线；

- 当 $ k \to 0 $ 或 $ k \to \infty $ 时，圆心趋近于点 $ A $ 或 $ B $。

三、阿氏圆的常见应用

1. 最短路径问题：

在涉及动点到两个定点的距离之比为定值的情况下，可利用阿氏圆构造最优路径。

2. 几何作图题：

利用阿氏圆的性质，可以快速确定点的位置，进而完成图形绘制。

3. 综合题型：

常出现在中考几何大题中，通常结合坐标系、函数图像等知识进行综合考查。

四、阿氏圆练习题（附参考答案）

题目1：

已知点 $ A(0, 0) $、$ B(4, 0) $，若点 $ P(x, y) $ 满足 $ \dfrac{PA}{PB} = \dfrac{1}{2} $，求点 $ P $ 的轨迹方程，并写出圆心与半径。

参考答案：

由 $ \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \dfrac{1}{2} $，两边平方后化简得：

$$

4(x^2 + y^2) = (x - 4)^2 + y^2 \Rightarrow 3x^2 + 3y^2 + 8x - 16 = 0

$$

整理为标准圆方程：

$$

(x + \dfrac{4}{3})^2 + y^2 = \left( \dfrac{8}{3} \right)^2

$$

圆心为 $ (-\dfrac{4}{3}, 0) $，半径为 $ \dfrac{8}{3} $。

题目2：

已知点 $ A(-2, 0) $、$ B(2, 0) $，点 $ P $ 满足 $ \dfrac{PA}{PB} = 2 $，求点 $ P $ 的轨迹方程。

参考答案：

由 $ \dfrac{\sqrt{(x+2)^2 + y^2}}{\sqrt{(x-2)^2 + y^2}} = 2 $，平方后化简得：

$$

(x+2)^2 + y^2 = 4[(x-2)^2 + y^2] \Rightarrow x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2

$$

整理得：

$$

3x^2 - 20x + 3y^2 + 12 = 0

$$

进一步整理为标准形式：

$$

(x - \dfrac{10}{3})^2 + y^2 = \left( \dfrac{8}{3} \right)^2

$$

题目3：

点 $ A(1, 1) $、$ B(5, 1) $，点 $ P $ 满足 $ \dfrac{PA}{PB} = \dfrac{1}{3} $，求点 $ P $ 的轨迹方程。

参考答案：

由 $ \dfrac{\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}}{\sqrt{(x-5)^2 + (y-1)^2}} = \dfrac{1}{3} $，平方化简得：

$$

9[(x-1)^2 + (y-1)^2] = (x-5)^2 + (y-1)^2

$$

展开并整理后得：

$$

8x^2 - 16x + 8y^2 - 16y + 8 = 0

$$

化简为：

$$

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

$$

五、总结

阿氏圆作为中考几何中的重点内容，不仅考察学生的空间想象能力，还涉及代数运算与几何变换的综合运用。通过多做相关练习题，熟练掌握其性质与解题思路，能够有效提升几何题的得分率。

建议考生在复习过程中注重理解阿氏圆的几何意义，同时结合坐标系、函数图像等工具进行训练，提高解题效率与准确率。

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